Capítulo 3: Probabilidade Básica

3.1. Conceitos de Probabilidade

A probabilidade é uma medida que quantifica a chance de um evento ocorrer. Ela é expressa como um número entre 0 e 1, onde 0 significa que o evento não ocorrerá e 1 significa que o evento certamente ocorrerá.

Experimentos e Eventos

• Experimento: Um procedimento ou ação que produz um conjunto de resultados. Por exemplo, lançar um dado.
• Evento: Um resultado específico ou um conjunto de resultados de um experimento. Por exemplo, obter um número par ao lançar um dado.

Cálculo de Probabilidades

A probabilidade de um evento ( A ) é calculada como o número de resultados favoráveis dividido pelo número total de resultados possíveis.

Fórmula:
[ P(A) = \frac{\text{Número de resultados favoráveis}}{\text{Número total de resultados possíveis}} ]

Exemplo com Python:

Vamos calcular a probabilidade de obter um número par ao lançar um dado.

# Número total de resultados possíveis (1 a 6)
total_outcomes = 6

# Número de resultados favoráveis (2, 4, 6)
favorable_outcomes = 3

# Calculando a probabilidade
probability = favorable_outcomes / total_outcomes
print(f"Probabilidade de obter um número par: {probability}")

3.2. Distribuições de Probabilidade

Uma distribuição de probabilidade descreve como as probabilidades são distribuídas entre os diferentes resultados possíveis de um experimento.

Distribuição Normal

A distribuição normal, também conhecida como curva de Gauss, é uma das distribuições de probabilidade mais importantes. Ela é caracterizada por sua forma de sino e é usada para descrever muitos fenômenos naturais e sociais.

• Características: Média, mediana e moda são iguais; aproximadamente 68% dos dados estão dentro de um desvio padrão da média; aproximadamente 95% dos dados estão dentro de dois desvios padrão.

Exemplo com Python:

Vamos criar uma distribuição normal e visualizar sua forma.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Gerando dados com distribuição normal
mean = 0
std_dev = 1
data = np.random.normal(mean, std_dev, 1000)

# Criando o histograma
plt.hist(data, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='g')

# Adicionando a curva da distribuição normal
from scipy.stats import norm
xmin, xmax = plt.xlim()
x = np.linspace(xmin, xmax, 100)
p = norm.pdf(x, mean, std_dev)
plt.plot(x, p, 'k', linewidth=2)

plt.title('Distribuição Normal')
plt.xlabel('Valor')
plt.ylabel('Densidade')
plt.show()

3.3. Teoremas Fundamentais

Lei dos Grandes Números

A Lei dos Grandes Números afirma que, à medida que o número de experimentos aumenta, a média das observações tende a se aproximar da média esperada.

Exemplo com Python:

Vamos verificar a Lei dos Grandes Números simulando o lançamento de uma moeda.

import numpy as np

# Simulando lançamentos de moeda
num_trials = 10000
results = np.random.choice([0, 1], size=num_trials)  # 0 = caído, 1 = cara
mean_result = np.mean(results)

print(f"Média dos lançamentos (proporção de caras): {mean_result}")

Teorema Central do Limite

O Teorema Central do Limite afirma que, para um número suficientemente grande de amostras, a distribuição da média amostral de qualquer distribuição será aproximadamente normal, independentemente da distribuição original.

Exemplo com Python:

Vamos visualizar o Teorema Central do Limite com uma distribuição uniforme.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Gerando amostras
num_samples = 1000
sample_size = 50
means = [np.mean(np.random.uniform(0, 1, sample_size)) for _ in range(num_samples)]

# Criando o histograma da média das amostras
plt.hist(means, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='b')

plt.title('Distribuição das Médias Amostrais')
plt.xlabel('Média')
plt.ylabel('Densidade')
plt.show()

Este capítulo cobre os conceitos básicos de probabilidade, incluindo a definição de eventos, cálculo de probabilidades, e distribuições de probabilidade como a normal. Também exploramos teoremas fundamentais como a Lei dos Grandes Números e o Teorema Central do Limite, ilustrando-os com exemplos práticos em Python. Nos próximos capítulos, aprofundaremos em inferência estatística e suas aplicações práticas.