Capítulo 6: Séries Temporais

As séries temporais são um dos tópicos mais importantes em estatística, especialmente quando lidamos com dados que variam ao longo do tempo. Elas são amplamente usadas em áreas como economia, finanças, meteorologia e controle de processos industriais, onde as observações são coletadas em intervalos de tempo regulares.

6.1 O que é uma Série Temporal?

Uma série temporal é uma sequência de observações ordenadas no tempo. Cada ponto de dados em uma série temporal está associado a um determinado instante ou intervalo de tempo. Os exemplos mais comuns incluem:

• Preços diários de ações.
• Temperaturas horárias.
• Vendas mensais de uma empresa.

A principal característica das séries temporais é que os dados não são independentes, ou seja, o valor de uma observação em um ponto do tempo pode ser influenciado pelos valores anteriores. Isso diferencia as séries temporais de outros tipos de dados que podem ser tratados como independentes.

6.2 Componentes de uma Série Temporal

Uma série temporal geralmente pode ser decomposta em quatro componentes principais:

1. Tendência (Trend): É o movimento de longo prazo da série temporal. Se uma série exibe um crescimento ou decrescimento constante ao longo do tempo, ela tem uma tendência. Exemplo: O crescimento populacional de uma cidade ao longo de várias décadas.
2. Sazonalidade (Seasonality): São padrões que se repetem em intervalos regulares de tempo. A sazonalidade é comum em dados econômicos e meteorológicos. Exemplo: Aumento nas vendas de sorvetes durante os meses de verão.
3. Ciclo (Cycle): Refere-se a flutuações que ocorrem em intervalos de tempo não regulares, diferindo da sazonalidade. Ciclos podem ser observados em dados econômicos que sofrem oscilações periódicas, como recessões e expansões. Exemplo: Ciclos econômicos de crescimento e recessão.
4. Resíduo (Residual/Noise): São os valores aleatórios ou inexplicáveis que não podem ser atribuídos a tendências, sazonalidade ou ciclos. O ruído pode ser considerado como a variação aleatória na série temporal.

6.3 Modelos para Séries Temporais

Existem diferentes abordagens para modelar séries temporais, dependendo da natureza dos dados e do objetivo da análise. Os principais modelos são:

6.3.1 Modelos ARIMA

O modelo ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average) é um dos mais utilizados para modelagem de séries temporais. Ele é composto por três componentes:

• AR (AutoRegressivo): Modela a dependência linear entre uma observação e seus valores passados. O termo “p” do modelo ARIMA se refere ao número de observações passadas a serem usadas no modelo. [
  Y_t = \beta_0 + \beta_1 Y_{t-1} + \dots + \beta_p Y_{t-p} + \varepsilon_t
  ]
• I (Integração): Refere-se à diferenciação das observações para remover a tendência e tornar a série estacionária, ou seja, sem uma tendência óbvia ao longo do tempo. [
  Y_t = Y_t – Y_{t-1}
  ]
• MA (Média Móvel): Modela o erro em termos de uma combinação linear dos erros passados. O termo “q” se refere ao número de erros passados utilizados. [
  Y_t = \mu + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \dots + \theta_q \varepsilon_{t-q} + \varepsilon_t
  ]

O modelo ARIMA é notado como ARIMA(p, d, q), onde:

• p é o número de termos auto-regressivos,
• d é o número de diferenciações aplicadas,
• q é o número de termos de média móvel.

6.3.2 Modelos Exponenciais Suavizados (ETS)

Os modelos de suavização exponencial são uma alternativa aos modelos ARIMA. Eles são mais simples de ajustar e fornecem previsões baseadas em uma combinação ponderada de observações passadas, dando mais peso às observações mais recentes.

Há três versões principais dos modelos ETS:

• Simples: Assume que a série não tem tendência nem sazonalidade.
• Duplo: Inclui uma componente de tendência.
• Triplo (Holt-Winters): Inclui componentes de tendência e sazonalidade.

A suavização exponencial simples (SES) é dada por:

[
S_t = \alpha Y_t + (1 – \alpha) S_{t-1}
]

Onde ( S_t ) é o valor suavizado no tempo ( t ), ( \alpha ) é o fator de suavização (0 < ( \alpha ) < 1), e ( Y_t ) é o valor observado no tempo ( t ).

6.4 Estacionariedade

Uma série temporal é dita estacionária se suas propriedades estatísticas (média, variância, autocorrelação) permanecem constantes ao longo do tempo. A maioria dos modelos de séries temporais, como o ARIMA, assume que a série é estacionária. Se uma série temporal não é estacionária, podemos aplicar transformações, como a diferenciação, para torná-la estacionária.

Para verificar a estacionariedade, um dos testes mais comuns é o teste de Dickey-Fuller aumentado (ADF).

6.5 Autocorrelação e Função ACF/PACF

A autocorrelação mede a correlação entre uma observação e seus valores passados. A função de autocorrelação (ACF) mostra as correlações para diferentes defasagens (lags). A função de autocorrelação parcial (PACF), por sua vez, mostra as correlações diretas entre uma observação e suas defasagens, eliminando os efeitos intermediários.

Essas funções são úteis para identificar o número de termos auto-regressivos (AR) e de média móvel (MA) em um modelo ARIMA.

6.6 Exemplo Prático de Análise de Séries Temporais

Suponha que uma empresa deseje prever as vendas mensais de seus produtos com base nos últimos 5 anos de dados. A série apresenta uma tendência crescente e um padrão sazonal, com picos de vendas nos meses de dezembro devido à alta demanda de final de ano.

Um modelo ARIMA ou ETS (Holt-Winters) poderia ser ajustado aos dados para capturar esses padrões e fornecer previsões para os próximos meses. A decomposição da série temporal poderia ser feita para separar a tendência, sazonalidade e resíduo, facilitando a modelagem de cada componente.

6.7 Aplicações de Modelos de Séries Temporais

Modelos de séries temporais têm inúmeras aplicações práticas:

• Previsão de demanda: Prever a demanda por produtos ou serviços ao longo do tempo, essencial para planejamento de estoque.
• Análise financeira: Modelagem e previsão de preços de ativos financeiros, como ações e títulos.
• Previsão meteorológica: Estimar a temperatura ou precipitação com base em padrões históricos.
• Controle de processos industriais: Monitorar e prever variáveis de controle em processos de fabricação para garantir qualidade.

Conclusão

As séries temporais oferecem uma abordagem robusta para modelar e prever dados que variam ao longo do tempo. A compreensão dos componentes e a escolha do modelo adequado são essenciais para obter previsões precisas e úteis. No próximo capítulo, exploraremos a análise de variância (ANOVA), uma técnica estatística usada para comparar médias entre múltiplos grupos.

Tópicos para Reflexão:

1. Quais são os componentes principais de uma série temporal?
2. Como o modelo ARIMA é estruturado?
3. O que significa uma série temporal ser estacionária?

Exercícios:

1. Ajuste um modelo ARIMA a uma série temporal de vendas mensais fictícia e interprete os resultados.
2. Aplique um modelo ETS aos dados de temperatura diária de uma cidade e discuta as previsões.
3. Verifique a estacionariedade de uma série temporal financeira utilizando o teste ADF.

Esse foi o sexto de dez capítulos sobre estatística.