Capítulo 8: Regressão Linear Múltipla

A regressão linear múltipla é uma extensão da regressão linear simples, que permite modelar a relação entre uma variável dependente e várias variáveis independentes (ou preditoras). Essa técnica é amplamente utilizada em diversos campos, como economia, ciências sociais, biologia e engenharia, para prever valores e entender as relações entre variáveis.

8.1 O que é a Regressão Linear Múltipla?

Na regressão linear simples, modelamos a relação entre duas variáveis: uma variável dependente ( Y ) e uma variável independente ( X ). Na regressão linear múltipla, a relação entre a variável dependente ( Y ) e duas ou mais variáveis independentes ( X_1, X_2, \dots, X_p ) é modelada da seguinte forma:

[
Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \dots + \beta_p X_p + \varepsilon
]

Onde:

• ( Y ) é a variável dependente.
• ( X_1, X_2, \dots, X_p ) são as variáveis independentes.
• ( \beta_0 ) é o intercepto (valor de ( Y ) quando todas as variáveis ( X_i ) são zero).
• ( \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_p ) são os coeficientes das variáveis independentes, que medem o efeito de cada variável ( X_i ) sobre ( Y ).
• ( \varepsilon ) é o termo de erro (a diferença entre o valor observado e o valor predito pelo modelo).

O objetivo da regressão linear múltipla é estimar os coeficientes ( \beta_0, \beta_1, \dots, \beta_p ) de forma que o modelo se ajuste da melhor forma possível aos dados observados.

8.2 Suposições da Regressão Linear Múltipla

Para que os resultados da regressão linear múltipla sejam confiáveis, algumas suposições devem ser atendidas:

1. Linearidade: A relação entre a variável dependente e as variáveis independentes deve ser linear.
2. Independência: As observações devem ser independentes umas das outras.
3. Homoscedasticidade: A variância dos resíduos (erros) deve ser constante para todos os valores das variáveis independentes.
4. Normalidade dos Resíduos: Os resíduos devem seguir uma distribuição normal.
5. Ausência de Multicolinearidade: As variáveis independentes não devem ser altamente correlacionadas entre si. A presença de multicolinearidade pode dificultar a interpretação dos coeficientes da regressão.

8.3 Estimativa dos Coeficientes

Os coeficientes ( \beta_0, \beta_1, \dots, \beta_p ) são estimados pelo método dos mínimos quadrados ordinários (MQO), que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos (a diferença entre os valores observados e os valores preditos pelo modelo).

[
\text{Soma dos quadrados dos resíduos} = \sum_{i=1}^{n} (Y_i – \hat{Y}_i)^2
]

Onde:

• ( Y_i ) são os valores observados da variável dependente.
• ( \hat{Y}_i ) são os valores preditos pelo modelo.

8.4 Interpretação dos Coeficientes

Cada coeficiente ( \beta_i ) representa o impacto da variável independente ( X_i ) sobre a variável dependente ( Y ), mantendo todas as outras variáveis constantes. A interpretação dos coeficientes é fundamental para entender as relações entre as variáveis.

• Se ( \beta_i ) for positivo, ( Y ) aumenta à medida que ( X_i ) aumenta.
• Se ( \beta_i ) for negativo, ( Y ) diminui à medida que ( X_i ) aumenta.
• Se ( \beta_i ) for igual a zero, a variável ( X_i ) não tem impacto sobre ( Y ).

8.5 Multicolinearidade

A multicolinearidade ocorre quando duas ou mais variáveis independentes são altamente correlacionadas entre si, o que pode causar problemas na estimativa dos coeficientes da regressão. Quando há multicolinearidade, os coeficientes ( \beta ) podem se tornar instáveis e difíceis de interpretar.

Uma maneira de detectar multicolinearidade é calcular o Fator de Inflação da Variância (VIF) para cada variável independente. Valores de VIF maiores que 10 indicam alta multicolinearidade.

8.6 Avaliação do Modelo

A qualidade de um modelo de regressão linear múltipla pode ser avaliada usando várias métricas:

• R² (Coeficiente de Determinação): Mede a proporção da variabilidade total de ( Y ) que é explicada pelas variáveis independentes ( X_1, X_2, \dots, X_p ). O valor de ( R² ) varia entre 0 e 1, sendo 1 o ajuste perfeito. [
  R² = \frac{\text{Soma dos Quadrados Explicada}}{\text{Soma Total dos Quadrados}}
  ]
• R² Ajustado: Uma versão modificada do ( R² ) que leva em conta o número de variáveis independentes no modelo. É útil quando comparamos modelos com diferentes números de variáveis. [
  R² \text{ Ajustado} = 1 – \frac{(1 – R²)(n – 1)}{n – p – 1}
  ]
• Erro Quadrático Médio (EQM): Mede o erro médio ao quadrado entre os valores observados e os valores preditos pelo modelo. Quanto menor o EQM, melhor o ajuste do modelo. [
  EQM = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (Y_i – \hat{Y}_i)^2
  ]
• Teste F: Avalia a significância global do modelo, ou seja, se pelo menos uma das variáveis independentes tem um efeito significativo sobre a variável dependente. [
  F = \frac{\text{Variância Explicada}}{\text{Variância Residual}}
  ]
• Teste t: Avalia a significância individual de cada coeficiente ( \beta_i ), testando a hipótese nula de que ( \beta_i = 0 ). Se o valor de ( p ) associado ao teste t for menor que o nível de significância, a variável ( X_i ) é considerada significativa.

8.7 Exemplo Prático de Regressão Linear Múltipla

Suponha que um economista queira prever o salário anual de indivíduos com base em suas horas de trabalho semanais, anos de experiência e nível de educação. Ele coleta os seguintes dados:

O economista pode ajustar um modelo de regressão linear múltipla para prever o salário com base nas variáveis preditoras ( X_1 ) (horas/semana), ( X_2 ) (anos de experiência) e ( X_3 ) (nível de educação). O modelo ajustado pode ser algo assim:

[
\hat{Y} = 25,000 + 400X_1 + 2,000X_2 + 3,000X_3
]

Neste caso, cada coeficiente ( \beta ) representa o efeito de um aumento unitário em cada uma das variáveis independentes sobre o salário. Por exemplo, o coeficiente ( 400X_1 ) indica que, para cada hora adicional de trabalho por semana, o salário anual aumenta em $400, mantendo as outras variáveis constantes.

8.8 Aplicações da Regressão Linear Múltipla

A regressão linear múltipla tem inúmeras aplicações em diferentes áreas:

• Economia: Previsão de indicadores econômicos como crescimento do PIB, inflação e taxa de desemprego.
• Finanças: Modelagem de preços de ativos com base em múltiplos fatores de risco.
• Marketing: Análise do impacto de diferentes campanhas publicitárias sobre as vendas de produtos.
• Ciências Sociais: Avaliação de como variáveis demográficas (idade, educação, renda) afetam o comportamento de compra.
• Saúde: Estudo do impacto de fatores como dieta, exercícios e hábitos de vida sobre o risco de doenças.

Conclusão

A regressão linear múltipla é uma ferramenta essencial para modelar e entender as relações entre múltiplas variáveis. Ao