Cálculo de Arranjos: Uma Abordagem Detalhada

O que é Arranjo?

Um arranjo é uma forma de selecionar e organizar elementos de um conjunto, onde a ordem dos elementos é importante. A notação para arranjos é ( A(n, r) ), onde:

• ( n ) é o número total de elementos disponíveis.
• ( r ) é o número de elementos a serem selecionados.

Fórmula dos Arranjos

A fórmula para calcular arranjos é dada por:

[
A(n, r) = \frac{n!}{(n – r)!}
]

Onde ( n! ) (fatorial de ( n )) é o produto de todos os inteiros positivos de 1 até ( n ).

O que é Fatorial?

O fatorial de um número ( n ) é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até ( n ). Por exemplo:

• ( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 )
• ( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 )
• ( 0! = 1 ) (por definição)

Exemplo 1: Calcular ( A(5, 2) )

Vamos calcular o número de arranjos de 5 elementos escolhendo 2.

Passo 1: Aplicar a Fórmula

[
A(5, 2) = \frac{5!}{(5 – 2)!} = \frac{5!}{3!}
]

Passo 2: Calcular os Fatoriais

• ( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 )
• ( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 )

Passo 3: Substituir e Calcular

[
A(5, 2) = \frac{120}{6} = 20
]

Portanto, existem 20 maneiras de arranjar 2 elementos de um conjunto de 5.

Exemplo 2: Calcular ( A(6, 4) )

Agora, vamos calcular o número de arranjos de 6 elementos escolhendo 4.

Passo 1: Aplicar a Fórmula

[
A(6, 4) = \frac{6!}{(6 – 4)!} = \frac{6!}{2!}
]

Passo 2: Calcular os Fatoriais

• ( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 )
• ( 2! = 2 \times 1 = 2 )

Passo 3: Substituir e Calcular

[
A(6, 4) = \frac{720}{2} = 360
]

Portanto, existem 360 maneiras de arranjar 4 elementos de um conjunto de 6.

Exemplo 3: Arranjos em um Contexto Prático

Situação

Suponha que você tenha 8 livros e deseja saber de quantas maneiras pode escolher e organizar 3 deles em uma prateleira.

Passo 1: Aplicar a Fórmula

[
A(8, 3) = \frac{8!}{(8 – 3)!} = \frac{8!}{5!}
]

Passo 2: Calcular os Fatoriais

• ( 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5! )
• Assim, ( A(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 )

Passo 3: Calcular

[
A(8, 3) = 8 \times 7 \times 6 = 336
]

Portanto, existem 336 maneiras de organizar 3 livros escolhidos de um total de 8.

Conclusão

Os arranjos são fundamentais em várias áreas, como estatística, probabilidade e combinações. Compreender como calcular arranjos pode ajudar em diversas situações do dia a dia, desde organizar objetos até resolver problemas complexos em matemática.

Exercício Proposto

Para praticar, tente calcular o número de arranjos ( A(10, 5) ) e verifique se você consegue encontrar a resposta correta!